2023數學教案篇1

“輕與重”是滬教版二年級下冊的教學內容，輕與重的比較是在學生日常生活中已有經驗和經歷的基礎上進行的。教學內容的選取大都是學生身邊的、常見的和感興趣的實物、活動，非常符合和貼近學生的年齡特征和心理狀態及生活體驗，因此這部分內容在授課時行對比較受學生的喜愛和容易理解掌握，課堂教學氛圍更是輕松愉悅。

本節課的教學內容實踐性較強，因此，本節課的設計以實踐活動為主，一來有益于激發學生學習的興趣，二來在實踐操作活動重更有利于知識的理解和掌握，在操作中感受物體的輕與重，真正讓學生感受到數學是來源于生活的。通過一系列的“看一看、掂一掂、吊一吊、猜一猜、稱一稱”等教學活動，讓學生理解物體的輕與重和掌握及選擇合適的判斷物體輕重的方法，同時讓學生在這個活動中感受體積大的物體不一定就重的道理。

新課伊始，開門見山，拿出孩子們常見的蘋果、水杯和氣球，頓時這幾樣簡單有熟悉的物品成為全班同學的焦點：“老師請來他們干什么呢？”緊接著拋出問題：氣球和蘋果比，誰比誰重，誰比誰輕呢？簡單的提問，孩子們參與度很高，學生利用已有的生活經驗完全可以解答，用眼睛就可以看出兩個物體的輕重，氣氛非常活躍，順水推舟，就出示了課題：輕與重。為了讓跟多的孩子獲得這種學習的成就感，于是接著出示了三組生活中常見的水果，輕同學們用“看”的方法判斷物體的輕與重。承上啟下，我請同學們用“看”的方法判斷兩個盒子的輕重，這就引出了用手掂的方法，同學們你掂我也掂，掂得滿臉的開心，在巡視的過程中，有個學生疑惑的問我：“閆老師這兩個我覺得差不多重！”多好的契機啊，順勢將這個生成的疑惑拋給了學生：當兩個物體掂不出（質量差不多時）如何判斷呢，有更合適的方法嗎？通過了一系列的情境設置和討論，激活了學生的思維，掌握了判斷的新方法：借助工具測量，培養了學生估測和解決問題的能力。在研究新知這一環節中，讓學生層層推進、由易到難：先用生活經驗看出物體的輕重，在沒有儀器的情況下用手掂；當重量比較接近無法憑借手感判斷時，用身邊的工具——橡皮筋吊一吊；當物體比較大且無法掂一掂和吊一吊時，用天平稱。這是符合學生認知規律的，通過猜測、嘗試等活動，用學生自己的語言將思考的過程表述出來，通過這樣的實驗操作及語言的表述和不斷的問題生成及補充完善，整個教授的知識框架就逐步清晰化、具體化和完善化。

語言是思維的窗口，口頭表達能力的訓練更是低年級教學的重要任務，在操作活動中我便強調讓學生互相說一說自己活動的結果，通過獨立說、互相說、集體說等的形式，鼓勵他們將自己的結果進行語言描述，使學生能用數學語言準確地描述出物體的輕與重。貫穿本節課的始終，在課堂中我盡量體現興趣性、思維性、活動性和互助性的結合，為學生營造出一種民主、寬松的學習氛圍，尊重學生，以此激勵他們思維的火花并將其大膽說出來共享，每個孩子都有自己的想法，對這樣或是那樣的想法及時給予肯定，當遇到嚴謹科學的問題時，我就引導學生選擇科學和便捷的方法來協助解決。

不足之處：

在“掂一掂”環節的引入過程中，我讓學生們猜兩個盒子的輕與重。做足準備的我以為他們的答案應該是“茶葉盒和鋼筆盒比，茶葉盒比鉛筆盒重”，但事實上他們的答案恰是相反的，理由是：鉛筆盒的腳上有鐵。一點點鐵就決定了他更重？不甘心的我繼續追問：你們認為呢？始終沒人反對，但是理由也說不出，跟我的預期背道而馳，此時的我有點無措。現在想來，孩子的思維很多時候都不會按著我們大人的邏輯出牌，他們的答案總是讓我吃驚！這讓我深刻的體會到教具的選擇一定要謹慎，對比物體之間盡量要找準變量和不變量。其二，在本課內容的教授過程中，沒有清晰的闡釋出“沒有的方法，只有最合適的方法”。即，在引出比較物體輕與重的新方法及方法的比較時，不應該獨立地說哪種方法好或不好，而應該重點強調要根據比較物體的不同選擇最合適的方法。

2023數學教案篇2

1.多邊形的分類：

2.平行四邊形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定義、性質、判別：

(1)平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形的對邊平行且相等;對角相等，鄰角互補;對角線互相平分。兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

(2)菱形：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的四條邊都相等;對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。四條邊都相等的四邊形是菱形;對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形。菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半(面積計算，即S菱形=L1.L2/2)。

(3)矩形：有一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形。矩形的對角線相等;四個角都是直角。對角線相等的平行四邊形是矩形;有一個角是直角的平行四邊形是矩形。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半;在直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半。

(4)正方形：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質。

(5)等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形;對角線相等的梯形是等腰梯形;對角互補的梯形是等腰梯形。

(6)三角形中位線：連接三角形相連兩邊重點的線段。性質：平行且等于第三邊的一半

3.多邊形的內角和公式：(n-2).180°;多邊形的外角和都等于。

4.中心對稱圖形：在平面內，一個圖形繞某個點旋轉，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。

2023數學教案篇3

教學目的：

1、進一步加強學生計算能力的訓練；

2、通過實際問題，提高學生解決實際問題的能力，同時加強數量關系式的意識；

3、讓學生認識并掌握一個數與11相乘的規律。

教學過程：

一、口算

14×1020×2140×1280×30

小黑板出示。

二、筆算

小黑板出示：

34×5467×1940×87

集體反饋。

三、完成復習第6題

思考：怎么算總千克數？

集體反饋時，提問：如果這三題，要你要一句話概括一下，你是怎么算的，你會怎么說？

四、完成復習第7題

然后指點回答。

1、用35×90，得電腦的價格。

2、電腦的價格比計算器的價格多多少元？

3、電腦的價格與計算器的價格一共多少元？等等。

五、完成復習第8題

集體解答。

六、研究一個數與11相乘的規律。

出示：

24×1135×1157×11

完成后，讓學生思考一個數與11相乘有怎么的規律？

最后通過豎式引導得出：一個數與11相乘，只要將這個數兩邊位，中間加，還要注意進位就可以了。

然后用比賽的形式完成思考后面的填空題。

七、補充作業。

2023數學教案篇4

采用幼兒感興趣的、活動方式，讓他們在生活中學習，體驗發現物品形體特征的樂趣。

課題生成：

語言教育活動中的聽說游戲在課程書中的設計形式一般比較單一。如何根據幼兒實際情況因地制宜設計教案，調動幼兒最大的積極性來參與教育活動，發展幼兒的語言表達能力和培養幼兒的創造性思維，一直是我努力的方向。現代國內外許多教育家提出的幼兒園教育應注重“感知教育”，重視教育過程的觀點，使我茅塞頓開。因此，我選擇了幼兒身邊無處不在，隨處可觸的“圓”作為在語言教育活動中充分實施感知教育探索的開始。

活動目標：

1、引導幼兒認識圓形并用恰當的語言描述：__是圓形的，__×也是圓形的。

2、發展幼兒的語言表達能力、想像力和培養幼兒的創造性。

3、提高幼兒的競賽意識和快速反應能力。

活動準備：

1、足球、乒乓球、籃球等一些具有圓形特征的物體。

2、水果如蘋果、桔子、荔枝等。

3、大量具有各種形狀的玩具。

活動過程：

1、激發興趣，引出主題。

(1)請小朋友們猜一猜紅布下到底藏了什么呢?引發幼兒討論和有意注意。(足球、籃球、乒乓球、鐘表、鼓等。)

(2)慢慢揭開紅布，向幼兒展示物體，誘導幼兒邊看邊說它們的名稱和形狀，引出活動主題“有趣的圓”。

2、充分調動幼兒的各種感官，感知“圓”的特性。

(1)請個別幼兒上前觸摸各種球體，去發現其特征在老師下說出自己對“圓”的感受。(很光滑，圓溜溜的沒有尖尖的角。

(2)請小朋友們和老師比賽好嗎?看誰在教室內找到的。又多又快(2分鐘)。組織全體幼兒在室內尋找。

(3)讓我們蒙起眼睛試試看，還能摸到“圓”嗎(3分鐘)。

3、室外發現，開拓思維。

小朋友，教室外面還有圓嗎?(有)多嗎?(多)讓我們一起到室外去找一找。(5分鐘)

開拓幼兒想像力和創造性，豐富幼兒對“圓”的經驗。

4、擊鼓傳花，聽說競賽。

(1)說明游戲競賽規則：幼兒分為兩隊，各代表紅花隊和黃花

①鼓點響起，兩隊各自傳花：鼓點一停，兩隊持花者站起，紅隊持花者說上句：__是圓形的，后由黃隊持花者說下句也是圓形的。說對者可由老師在黑板上相應花前貼上一枚圓片，如說錯和重復別人的句子都不能貼磁片。

②游戲雙方兩隊以圓形磁片多者為勝方。

(2)賽后，老師進行簡單小結，為勝方鼓掌祝賀，同時也為方增強信心鼓掌支持。

活動延伸：

引導幼兒以“有趣的圓”為主題進行繪畫。

課題評價：

一、效果分析

在這一教育活動中，游戲貫穿始終。我首先采用“猜”引起幼兒極大興趣，滿足他們的好奇心，接下來不斷地以游戲的方式幼兒動口、動手、動腦，使幼兒在整個活動過程中保持著積極主動、穩定的學習情緒。平時不愛發言的小朋友也能高舉小手“老師，我知道!”從而較好地達到了預期教育目的。

為何這次活動能取得良好效果呢?我想主要有以下兩個的原因：

一是給每一位幼兒都創造了參與成功的機會，充分發幼兒的主體作用;

二是充分調動了幼兒的感知能力。

二、專家點評

幼兒總是對他們未知的事物充滿好奇，《有趣的圓》以游戲方式，通過讓幼兒一猜、二看、三說、四找、五摸、六發現、七競賽。僅使幼兒在表面和經驗的層面上獲得更深一步的感知印象，還為幼兒進行創造性思維提供了條件。

教育活動中的室內、室外轉換，不拘泥于空間的限制，在學中玩，活躍了氣氛，拓寬了教學途徑，更符合中班年齡的幼兒活潑、好動、思維具體形象性的特征。

設計的環節以繪畫的方式進行延伸活動，可使幼兒大膽不僅鞏固了本次教育活動的成果，而且讓幼兒獲得了創造潛以充分發揮和表現的機會。

總之，此活動設計對我們拓展幼兒數學教育內容和活動都是有所啟發的。

三、反思與討論

充分利用生活中的事物，幫助幼兒建構數的概念，你還有好主意嗎?

2023數學教案篇5

1、教學目標

(1)知識目標：

1、在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程;

2、會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心，能根據條件寫出圓的方程;

3、利用圓的方程解決與圓有關的實際問題。

(2)能力目標：

1、進一步培養學生用解析法研究幾何問題的能力;

2、使學生加深對數形結合思想和待定系數法的理解;

3、增強學生用數學的意識。

(3)情感目標：培養學生主動探究知識、合作交流的意識，在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣。

2、教學重點、難點

(1)教學重點：圓的標準方程的&39;求法及其應用。

(2)教學難點：①會根據不同的已知條件，利用待定系數法求圓的標準方程

②選擇恰當的坐標系解決與圓有關的實際問題。

3、教學過程

(一)創設情境(啟迪思維)

問題一：已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2。7m，高為3m的貨車能不能駛入這個隧道?

[引導]：畫圖建系

[學生活動]：嘗試寫出曲線的方程(對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復習)

解：以某一截面半圓的圓心為坐標原點，半圓的直徑AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，則半圓的方程為x2+y2=16(y≥0)

將x=2。7代入，得

即在離隧道中心線2。7m處，隧道的高度低于貨車的高度，因此貨車不能駛入這個隧道。

(二)深入探究(獲得新知)

問題二：1、根據問題一的探究能不能得到圓心在原點，半徑為的圓的方程?

答：x2+y2=r2

2、如果圓心在，半徑為時又如何呢?

[學生活動]：探究圓的方程。

[教師預設]：方法一：坐標法

如圖，設M(x，y)是圓上任意一點，根據定義點M到圓心C的距離等于r，所以圓C就是集合P={MMC=r}

由兩點間的距離公式，點M適合的條件可表示為①

把①式兩邊平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2

方法二：圖形變換法

方法三：向量平移法

(三)應用舉例(鞏固提高)

I.直接應用(內化新知)

問題三：1、寫出下列各圓的方程(課本P77練習1)

(1)圓心在原點，半徑為3;

(2)圓心在，半徑為

(3)經過點，圓心在點

2、根據圓的方程寫出圓心和半徑

II.靈活應用(提升能力)

問題四：1、求以為圓心，并且和直線相切的圓的方程。

[教師引導]由問題三知：圓心與半徑可以確定圓。

2、求過點，圓心在直線上且與軸相切的圓的方程。

[教師引導]應用待定系數法尋找圓心和半徑。

3、已知圓的方程為，求過圓上一點的切線方程。

[學生活動]探究方法

[教師預設]方法一：待定系數法(利用幾何關系求斜率—垂直)

方法二：待定系數法(利用代數關系求斜率—聯立方程)

方法三：軌跡法(利用勾股定理列關系式)[多媒體課件演示]

方法四：軌跡法(利用向量垂直列關系式)

4、你能歸納出具有一般性的結論嗎?

已知圓的方程是，經過圓上一點的切線的方程是：

III.實際應用(回歸自然)

問題五：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱的長度(精確到0。01m)。

[多媒體課件演示創設實際問題情境]

(四)反饋訓練(形成方法)

問題六：1、求以C(-1，-5)為圓心，并且和y軸相切的圓的方程。

2、已知點A(-4，-5)，B(6，-1)，求以AB為直徑的圓的方程。

3、求過點，且圓心在直線上的圓的標準方程。

4、求圓x2+y2=13過點P(—2，3)的切線方程。

5、已知圓的方程為，求過點的切線方程。

(五)小結反思(拓展引申)

1、課堂小結：

(1)知識性小結：

①圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的標準方程為：

當圓心在原點時，圓的標準方程為：

②已知圓的方程是，經過圓上一點的切線的方程是：

(2)方法性小結：

①求圓的方程的方法：I。找出圓心和半徑;II。待定系數法

②求解應用問題的一般方法

2、分層作業：(A)鞏固型作業：課本P81—82：(習題7。6)1、2、4

(B)思維拓展型作業：

試推導過圓上一點的切線方程。

3、激發新疑：

問題七：1、把圓的標準方程展開后是什么形式?

2、方程：的曲線是什么圖形?

設計說明

圓是學生比較熟悉的曲線。初中平面幾何對圓的基本性質作了比較系統的研究，因此這節課的重點就放在了用解析法研究它的方程和圓的標準方程的一些應用上。首先，在已有圓的定義和求曲線方程的一般步驟的基礎上，用實際問題引導學生探究獲得圓的標準方程，然后，利用圓的標準方程由潛入深的解決問題，并通過最終在實際問題中的應用，增強學生用數學的意識。另外，為了培養學生的理性思維，我分別在引例和問題四中，設計了兩次由特殊到一般的學習思路，培養學生的歸納概括能力。在問題的設計中，我用一題多解的探究，縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯系，培養了學生的創新精神，并且使學生的有效思維量加大，隨時對所學知識和方法產生有意注意，能力與知識的形成相伴而行，這樣的設計不但突出了重點，更使難點的突破水到渠成。

本節課的設計了五個環節，以問題為紐帶，以探究活動為載體，使學生在問題的指引下、我的指導下把探究活動層層展開、步步深入，充分體現以教師為主導，以學生為主體的指導思想，應用啟發式的教學方法把學生學習知識的過程轉變為學生觀察問題、發現問題、分析問題、解決問題的過程，在解決問題的同時提鍛煉了思維、提高了能力、培養了興趣、增強了信心。

2023數學教案篇6

指數與指數冪的運算教案

整體設計

教學分析

我們在初中的學習過程中，已了解了整數指數冪的概念和運算性質.從本節開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上，類比出正數的n次方根的定義，從而把指數推廣到分數指數.進而推廣到有理數指數，再推廣到實數指數，并將冪的運算性質由整數指數冪推廣到實數指數冪.

教材為了讓學生在學習之外就感受到指數函數的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題.前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數指數冪，也讓學生感受到其中的函數模型，并且還有思想教育價值.后一個問題讓學生體會其中的函數模型的同時，激發學生探究分數指數冪、無理數指數冪的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊.

本節安排的內容蘊涵了許多重要的數學思想方法，如推廣的思想(指數冪運算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數指數冪逼近無理數指數冪)、數形結合的思想(用指數函數的圖象研究指數函數的性質)等，同時，充分關注與實際問題的結合，體現數學的應用價值.

根據本節內容的特點，教學中要注意發揮信息技術的力量，盡量利用計算器和計算機創設教學情境，為學生的數學探究與數學思維提供支持.

三維目標

1.通過與初中所學的知識進行類比，理解分數指數冪的概念，進而學習指數冪的性質.掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質.培養學生觀察分析、抽象類比的能力.

2.掌握根式與分數指數冪的互化，滲透“轉化”的數學思想.通過運算訓練，養成學生嚴謹治學，一絲不茍的學習習慣，讓學生了解數學來自生活，數學又服務于生活的哲理.

3.能熟練地運用有理指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力.

4.通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數冪的運算性質.展示函數圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數函數的性質，讓學生體驗數學的簡潔美和統一美.

重點難點

教學重點

(1)分數指數冪和根式概念的理解.

(2)掌握并運用分數指數冪的運算性質.

(3)運用有理指數冪的性質進行化簡、求值.

教學難點

(1)分數指數冪及根式概念的理解.

(2)有理指數冪性質的靈活應用.

課時安排

3課時

教學過程

第1課時

作者：路致芳

導入新課

思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發展與進化，又怎樣判斷它們所處的年代?(考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發展與進化的，第二個問題我們不太清楚)考古學家是按照這樣一條規律推測生物所處的年代的.教師板書本節課題：指數函數——指數與指數冪的運算.

思路2.同學們，我們在初中學習了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢?答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數函數——指數與指數冪的運算.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)什么是平方根?什么是立方根?一個數的平方根有幾個，立方根呢?

(2)如x4=a，x5=a，x6=a，根據上面的結論我們又能得到什么呢?

(3)根據上面的結論我們能得到一般性的結論嗎?

(4)可否用一個式子表達呢?

活動：教師提示，引導學生回憶初中的時候已經學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結論進行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時啟發學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維.

討論結果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數的平方根有兩個，它們互為相反數，如：4的平方根為±2，負數沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.

(2)類比平方根、立方根的定義，一個數的四次方等于a，則這個數叫a的四次方根.一個數的五次方等于a，則這個數叫a的五次方根.一個數的六次方等于a，則這個數叫a的六次方根.

(3)類比(2)得到一個數的n次方等于a，則這個數叫a的n次方根.

(4)用一個式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根.

教師板書n次方根的意義：

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(nthroot)，其中n>1且n∈正整數集.

可以看出數的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出問題

(1)你能根據n次方根的意義求出下列數的n次方根嗎?(多媒體顯示以下題目).

①4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方根;⑤-32的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a6的立方根.

(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應的方根的指數是什么數，有什么特點?4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應什么性質的數，有什么特點?

(3)問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數a有正有負，還有零，結論有一個的，也有兩個的，你能否總結一般規律呢?

(4)任何一個數a的偶次方根是否存在呢?

活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數a的n次方根，就是求出的那個數的n次方等于a，及時點撥學生，從數的分類考慮，可以把具體的數寫出來，觀察數的特點，對問題(2)中的結論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.

討論結果：(1)因為±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

(2)方根的指數是2,3,4,5,7…特點是有奇數和偶數.總的來看，這些數包括正數，負數和零.

(3)一個數a的奇次方根只有一個，一個正數a的偶次方根有兩個，是互為相反數.0的任何次方根都是0.

(4)任何一個數a的偶次方根不一定存在，如負數的偶次方根就不存在，因為沒有一個數的偶次方是一個負數.

類比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質：

①當n為偶數時，正數a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0).

②n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示.

③負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是零.

上面的文字語言可用下面的式子表示：

a為正數：n為奇數，a的n次方根有一個為na，n為偶數，a的n次方根有兩個為±na.

a為負數：n為奇數，a的n次方根只有一個為na，n為偶數，a的n次方根不存在.

零的n次方根為零，記為n0=0.

可以看出數的平方根、立方根的性質是n次方根的性質的特例.

思考

根據n次方根的性質能否舉例說明上述幾種情況?

活動：教師提示學生對方根的性質要分類掌握，即正數的奇偶次方根，負數的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題.

解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等.其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現在我們給式子na一個名稱——根式.

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被開方數，n叫做根指數.

如3-27中，3叫根指數，-27叫被開方數.

思考

nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎?如果不一定成立，那么nan等于什么?

活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論.教師點撥，注意歸納整理.

〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=-8=8〕.

解答：根據n次方根的意義，可得：(na)n=a.

通過探究得到：n為奇數，nan=a.

n為偶數，nan=a=a，-a，a≥0，a<0.

因此我們得到n次方根的運算性質：

①(na)n=a.先開方，再乘方(同次)，結果為被開方數.

②n為奇數，nan=a.先奇次乘方，再開方(同次)，結果為被開方數.

n為偶數，nan=a=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開方(同次)，結果為被開方數的絕對值.

應用示例

思路1

例求下列各式的值：

(1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π)4;(4)(a-b)2(a>b).

活動：求某些式子的值，首先考慮的應是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識，關鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個題目仔細分析.觀察學生的解題情況，讓學生展示結果，抓住學生在解題過程中出現的問題并對癥下藥.求下列各式的值實際上是求數的方根，可按方根的運算性質來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數的符號定準，然后看根指數是奇數還是偶數，如果是奇數，無需考慮符號，如果是偶數，開方的結果必須是非負數.

解：(1)3(-8)3=-8;

(2)(-10)2=10;

(3)4(3-π)4=π-3;

(4)(a-b)2=a-b(a>b).

點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導致問題出現的一個重要原因，要在理解的基礎上，記準，記熟，會用，活用.

變式訓練

求出下列各式的值：

(1)7(-2)7;

(2)3(3a-3)3(a≤1);

(3)4(3a-3)4.

解：(1)7(-2)7=-2，

(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

(3)4(3a-3)4=

點評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解.

思路2

例1下列各式中正確的是()

A.4a4=a

B.6(-2)2=3-2

C.a0=1

D.10(2-1)5=2-1

活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質，應首先考慮根據方根的意義和運算性質來解，既要考慮被開方數，又要考慮根指數，嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的實質，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答.

解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質，當n為偶數時，應先寫nan=a，故A項錯.

(2)6(-2)2=3-2，本質上與上題相同，是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，結論為6(-2)2=32，故B項錯.

(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯.

(4)D項是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，故D項正確.所以答案選D.

答案：D

點評：本題由于考查n次方根的運算性質與運算順序，有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬要細心.

例23+22+3-22=__________.

活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內容與本節無關，但仔細一想，我們學習的內容是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據方根的運算求出結果是解題的關鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關鍵了，從何處入手?需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式.正確分析題意是關鍵，教師提示，引導學生解題的思路.

解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

所以3+22+3-22=22.

答案：22

點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式.

思考

上面的例2還有別的解法嗎?

活動：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮并交流討論，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號后，相加正好抵消.同時借助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法.

另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，

兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解.

變式訓練

若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍.

解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=a-1=a-1，

即a-1≥0，

所以a≥1.

點評：利用方根的運算性質轉化為去絕對值符號，是解題的關鍵.

知能訓練

(教師用多媒體顯示在屏幕上)

1.以下說法正確的是()

A.正數的n次方根是一個正數

B.負數的n次方根是一個負數

C.0的n次方根是零

D.a的n次方根用na表示(以上n>1且n∈正整數集)

答案：C

2.化簡下列各式：

(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)xy;(5)x-y.

3.計算7+40+7-40=__________.

解析：7+40+7-40

=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

=(5+2)2+(5-2)2

=5+2+5-2

=25.

答案：25

拓展提升

問題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個是恒等式，為什么?請舉例說明.

活動：組織學生結合前面的例題及其解答，進行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義.

通過歸納，得出問題結果，對a是正數和零，n為偶數時，n為奇數時討論一下.再對a是負數，n為偶數時，n為奇數時討論一下，就可得到相應的結論.

解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N).

如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數或偶數，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恒成立.

例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.

(2)nan=a，a，當n為奇數，當n為偶數.

當n為奇數時，a∈R，nan=a恒成立.

例如：525=2，5(-2)5=-2.

當n為偶數時，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=a=-a，如(-3)2=32=3，

即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的.

點評：實質上是對n次方根的概念、性質以及運算性質的深刻理解.

課堂小結

學生仔細交流討論后，在筆記上寫出本節課的學習收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上.

1.如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數集.用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數，n叫根指數.

(1)當n為偶數時，a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0).

(2)n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示.

(3)負數沒有偶次方根.0的任何次方根都是零.

2.掌握兩個公式：n為奇數時，(na)n=a，n為偶數時，nan=a=a，-a，a≥0，a<0.

作業

課本習題2.1A組1.

補充作業：

1.化簡下列各式：

(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

解：(1)681=634=332=39;

(2)15-32=-1525=-32;

(3)6a2b4=6(a?b2)2=3a?b2.

2.若5<a<8，則式子(a-5)2-(a-8)2的值為__________.<p="">

解析：因為5<a<8，所以(a-5)2-(a-8)2=a-5-8+a=2a-13.<p="">

答案：2a-13

3.5+26+5-26=__________.

解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，

不難看出5+26=(3+2)2=3+2.

同理5-26=(3-2)2=3-2.

所以5+26+5-26=23.

答案：23

設計感想

學生已經學習了數的平方根和立方根，根式的內容是這些內容的推廣，本節課由于方根和根式的概念和性質難以理解，在引入根式的概念時，要結合已學內容，列舉具體實例，根式na的講解要分n是奇數和偶數兩種情況來進行，每種情況又分a>0，a<0，a=0三種情況，并結合具體例子講解，因此設計了大量的類比和練習題目，要靈活處理這些題目，幫助學生加以理解，所以需要用多媒體信息技術服務教學.

第2課時

作者：郝云靜

導入新課

思路1.碳14測年法.原來宇宙射線在大氣層中能夠產生放射性碳14，并與氧結合成二氧化碳后進入所有活組織，先為植物吸收，再為動物吸收，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地吸收碳14在機體內保持一定的水平.而當有機體死亡后，即會停止吸收碳14，其組織內的碳14便以約5730年的半衰期開始衰變并消失.對于任何含碳物質只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代(半衰期：經過一定的時間，變為原來的一半).引出本節課題：指數與指數冪的運算之分數指數冪.

思路2.同學們，我們在初中學習了整數指數冪及其運算性質，那么整數指數冪是否可以推廣呢?答案是肯定的.這就是本節的主講內容，教師板書本節課題——指數與指數冪的運算之分數指數冪.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)整數指數冪的運算性質是什么?

(2)觀察以下式子，并總結出規律：a>0，

①;

②a8=(a4)2=a4=，;

③4a12=4(a3)4=a3=;

④2a10=2(a5)2=a5=.

(3)利用(2)的規律，你能表示下列式子嗎?

，，，(x>0，m，n∈正整數集，且n>1).

(4)你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎?

(5)你能推廣到一般的情形嗎?

活動：學生回顧初中學習的整數指數冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數之間的關系，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類比(2)的規律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵提示.

討論結果：(1)整數指數冪的運算性質：an=a?a?a?…?a，a0=1(a≠0);00無意義;

a-n=1an(a≠0);am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根;③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根.實質上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結果的a的指數是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質沒變.

根據4個式子的最后結果可以總結：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時，根式可以寫成分數作為指數的形式(分數指數冪形式).

(3)利用(2)的規律，453=，375=，5a7=，nxm=.

(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是.

結果表明方根的結果和分數指數冪是相通的.

(5)如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1).

綜上所述，我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：

規定：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1).

提出問題

(1)負整數指數冪的意義是怎樣規定的?

(2)你能得出負分數指數冪的意義嗎?

(3)你認為應怎樣規定零的分數指數冪的意義?

(4)綜合上述，如何規定分數指數冪的意義?

(5)分數指數冪的意義中，為什么規定a>0，去掉這個規定會產生什么樣的后果?

(6)既然指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質是否也適用于有理數指數冪呢?

活動：學生回想初中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來，與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明a>0的必要性，教師及時作出評價.

討論結果：(1)負整數指數冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+.

(2)既然負整數指數冪的意義是這樣規定的，類比正數的正分數指數冪的意義可得正數的負分數指數冪的意義.

規定：正數的負分數指數冪的意義是==1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1).

(3)規定：零的分數指數冪的意義是：零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義.

(4)教師板書分數指數冪的意義.分數指數冪的意義就是：

正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是==1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義.

(5)若沒有a>0這個條件會怎樣呢?

如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現了截然不同的結果，這只說明分數指數冪在底數小于零時是無意義的.因此在把根式化成分數指數時，切記要使底數大于零，如無a>0的條件，比如式子3a2=，同時負數開奇次方是有意義的，負數開奇次方時，應把負號移到根式的外邊，然后再按規定化成分數指數冪，也就是說，負分數指數冪在有意義的情況下總表示正數，而不是負數，負數只是出現在指數上.

(6)規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數.

有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q).

我們利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質可以解決一些問題，來看下面的例題.

應用示例

例1求值：(1);(2);(3)12-5;(4).

活動：教師引導學生考慮解題的方法，利用冪的運算性質計算出數值或化成最簡根式，根據題目要求，把底數寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數冪的運算性質可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來.

解：(1)=22=4;

(2)=5-1=15;

(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

(4)=23-3=278.

點評：本例主要考查冪值運算，要按規定來解.在進行冪值運算時，要首先考慮轉化為指數運算，而不是首先轉化為熟悉的根式運算，如=382=364=4.

例2用分數指數冪的形式表示下列各式.

a3?a;a2?3a2;a3a(a>0).

活動：學生觀察、思考，根據解題的順序，把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算，根式化為分數指數冪時，要由里往外依次進行，把握好運算性質和順序，學生討論交流自己的解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵學生注意總結.

解：a3?a=a3?=;

a2?3a2=a2?=;

a3a=.

點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算.對于計算的結果，不強求統一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分數指數冪的形式來表示，但結果不能既有分數指數又有根式，也不能既有分母又有負指數.

例3計算下列各式(式中字母都是正數).

(1);

(2).

活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內的，整數冪的運算性質及運算規律擴充到分數指數冪后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進行計算，熟悉后可以簡化步驟.

解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)]=4ab0=4a;

(2)=m2n-3=m2n3.

點評：分數指數冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法.有了分數指數冪，就可把根式轉化成分數指數冪的形式，用分數指數冪的運算法則進行運算了.

本例主要是指數冪的運算法則的綜合考查和應用.

變式訓練

求值：(1)33?33?63;

(2)627m3125n64.

解：(1)33?33?63==32=9;

(2)627m3125n64==9m225n4=925m2n-4.

例4計算下列各式：

(1)(325-125)÷425;

(2)a2a?3a2(a>0).

活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，化為同底.利用分數指數冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數指數冪再計算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算，最后寫出解答.

解：(1)原式=

==65-5;

(2)a2a?3a2==6a5.

知能訓練

課本本節練習1,2,3

【補充練習】

教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答，教師巡視，啟發，對做得好的同學給予表揚鼓勵.

1.(1)下列運算中，正確的是()

A.a2?a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2

C.(a-1)0=0D.(-a2)3=-a6

(2)下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5(各式的n∈N，a∈R)中，有意義的是()

A.①②B.①③C.①②③④D.①③④

(3)(34a6)2?(43a6)2等于()

A.aB.a2C.a3D.a4

(4)把根式-25(a-b)-2改寫成分數指數冪的形式為()

A.B.

C.D.

(5)化簡的結果是()

A.6aB.-aC.-9aD.9a

2.計算：(1)--17-2+-3-1+(2-1)0=__________.

(2)設5x=4,5y=2，則52x-y=__________.

3.已知x+y=12，xy=9且x<y，求p=""的值.

答案：1.(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.(1)19(2)8

3.解：.

因為x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

又因為x<y，所以x-y=-2×33=-63.<p="">

所以原式==12-6-63=-33.

拓展提升

1.化簡：.

活動：學生觀察式子特點，考慮x的指數之間的關系可以得到解題思路，應對原式進行因式分解，根據本題的特點，注意到：

x-1=-13=;

x+1=+13=;

.

構建解題思路教師適時啟發提示.

解：

=

=

=

=.

點撥：解這類題目，要注意運用以下公式，

=a-b，

=a±+b，

=a±b.

2.已知，探究下列各式的值的求法.

(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).

解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;

(2)將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+a-2=47;

(3)由于，

所以有=a+a-1+1=8.

點撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值.

課堂小結

活動：教師，本節課同學們有哪些收獲?請把你的學習收獲記錄在你的筆記本上，同學們之間相互交流.同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點：

(1)分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是==1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義.

(2)規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數.

(3)有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q).

(4)說明兩點：

①分數指數冪的意義是一種規定，我們前面所舉的例子只表明這種規定的合理性，其中沒有推出關系.

②整數指數冪的運算性質對任意的有理數指數冪也同樣適用.因而分數指數冪與根式可以互化，也可以利用=am來計算.

作業

課本習題2.1A組2,4.

設計感想

本節課是分數指數冪的意義的引出及應用，分數指數是指數概念的又一次擴充，要讓學生反復理解分數指數冪的意義，教學中可以通過根式與分數指數冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術的手段來完成大容量的課堂教學任務.

第3課時

作者：鄭芳鳴

導入新課

思路1.同學們，既然我們把指數從正整數推廣到整數，又從整數推廣到正分數到負分數，這樣指數就推廣到有理數，那么它是否也和數的推廣一樣，到底有沒有無理數指數冪呢?回顧數的擴充過程，自然數到整數，整數到分數(有理數)，有理數到實數.并且知道，在有理數到實數的擴充過程中，增添的數是無理數.對無理數指數冪，也是這樣擴充而來.既然如此，我們這節課的主要內容是：教師板書本堂課的課題〔指數與指數冪的運算(3)〕之無理數指數冪.

思路2.同學們，在初中我們學習了函數的知識，對函數有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數，如一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、三角函數等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發展，社會的進步，我們還要學習許多函數，其中就有指數函數，為了學習指數函數的知識，我們必須學習實數指數冪的運算性質，為此，我們必須把指數冪從有理數指數冪擴充到實數指數冪，因此我們本節課學習：指數與指數冪的運算(3)之無理數指數冪，教師板書本節課的課題.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)我們知道2=1.41421356…，那么1.41,1.414,1.4142,1.41421，…，是2的什么近似值?而1.42,1.415,1.4143,1.41422，…，是2的什么近似值?

(2)多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發現什么樣的規律?

2的過剩近似值

的近似值

1.511.18033989

1.429.829635328

1.4159.750851808

1.41439.73987262

1.414229.738618643

1.4142149.738524602

1.41421369.738518332

1.414213579.738517862

1.4142135639.738517752

……

的近似值

2的不足近似值

9.5182696941.4

9.6726699731.41

9.7351710391.414

9.7383051741.4142

9.7384619071.41421

9.7385089281.414213

9.7385167651.4142135

9.7385177051.41421356

9.7385177361.414213562

……

(3)你能給上述思想起個名字嗎?

(4)一個正數的無理數次冪到底是一個什么性質的數呢?如，根據你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎?

(5)借助上面的結論你能說出一般性的結論嗎?

活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內容：

問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向.

問題(2)對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關聯.

問題(3)上述方法實際上是無限接近，最后是逼近.

問題(4)對問題給予大膽猜測，從數軸的觀點加以解釋.

問題(5)在(3)(4)的基礎上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般.

討論結果：(1)1.41,1.414,1.4142,1.41421，…這些數都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.4143,1.41422，…，這些數都大于2，稱2的過剩近似值.

(2)第一個表：從大于2的方向逼近2時，就從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向逼近.

第二個表：從小于2的方向逼近2時，就從51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向逼近.

從另一角度來看這個問題，在數軸上近似地表示這些點，數軸上的數字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向接近，可以說從兩個方向無限地接近，即逼近，所以是一串有理數指數冪51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，和另一串有理數指數冪51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，按上述變化規律變化的結果，事實上表示這些數的點從兩個方向向表示的點靠近，但這個點一定在數軸上，由此我們可得到的結論是一定是一個實數，即51.4<51.41<51.414<51.4142<51.41421<…<<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.

充分表明是一個實數.

(3)逼近思想，事實上里面含有極限的思想，這是以后要學的知識.

(4)根據(2)(3)我們可以推斷是一個實數，猜測一個正數的無理數次冪是一個實數.

(5)無理數指數冪的意義：

一般地，無理數指數冪aα(a>0，α是無理數)是一個確定的實數.

也就是說無理數可以作為指數，并且它的結果是一個實數，這樣指數概念又一次得到推廣，在數的擴充過程中，我們知道有理數和無理數統稱為實數.我們規定了無理數指數冪的意義，知道它是一個確定的實數，結合前面的有理數指數冪，那么，指數冪就從有理數指數冪擴充到實數指數冪.

提出問題

(1)為什么在規定無理數指數冪的意義時，必須規定底數是正數?

(2)無理數指數冪的運算法則是怎樣的?是否與有理數指數冪的運算法則相通呢?

(3)你能給出實數指數冪的運算法則嗎?

活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導他們用反例說明問題，注意類比，歸納.

對問題(1)回顧我們學習分數指數冪的意義時對底數的規定，舉例說明.

對問題(2)結合有理數指數冪的運算法則，既然無理數指數冪aα(a>0，α是無理數)是一個確定的實數，那么無理數指數冪的運算法則應當與有理數指數冪的運算法則類似，并且相通.

對問題(3)有了有理數指數冪的運算法則和無理數指數冪的運算法則，實數的運算法則自然就得到了.

討論結果：(1)底數大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規定了底數是正數后，無理數指數冪aα是一個確定的實數，就不會再造成混亂.

(2)因為無理數指數冪是一個確定的實數，所以能進行指數的運算，也能進行冪的運算，有理數指數冪的運算性質，同樣也適用于無理數指數冪.類比有理數指數冪的運算性質可以得到無理數指數冪的運算法則：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s都是無理數).

②(ar)s=ars(a>0，r，s都是無理數).

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無理數).

(3)指數冪擴充到實數后，指數冪的運算性質也就推廣到了實數指數冪.

實數指數冪的運算性質：

對任意的實數r，s，均有下面的運算性質：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R).

②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R).

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R).

應用示例

例1利用函數計算器計算.(精確到0.001)

(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3);(4).

活動：教師教會學生利用函數計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數，算出數值，對于(1)，可先按底數0.3，再按xy鍵，再按冪指數2.1，最后按=，即可求得它的值;

對于(2)，先按底數3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最后按=即可;

對于(3)，先按底數3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可;

對于(4)，這種無理指數冪，可先按底數3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按=鍵.有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算.

學生可以相互交流，挖掘計算器的用途.

解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3)≈2.336;(4)≈6.705.

點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現代技術的威力，逐步把自己融入現代信息社會;用四舍五入法求近似值，若保留小數點后n位，只需看第(n+1)位能否進位即可.

例2求值或化簡.

(1)a-4b23ab2(a>0，b>0);

(2)(a>0，b>0);

(3)5-26+7-43-6-42.

活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數則化為常數，若不能化為常數則應使所化式子達到最簡，對既有分數指數冪又有根式的式子，應該把根式統一化為分數指數冪的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由里向外把根式化成分數指數冪，要緊扣分數指數冪的意義和運算性質，對(2)既有分數指數冪又有根式，應當統一起來，化為分數指數冪，對(3)有多重根號的式子，應先去根號，這里是二次根式，被開方數應湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對學生作及時的評價，注意總結解題的方法和規律.

解：(1)a-4b23ab2==3b46a11.

點評：根式的運算常常化成冪的運算進行，計算結果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示.

(2)

=

=425a0b0=425.

點評：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負指數冪的定義把負指數化成正指數，另一個方法是采用分式的基本性質把負指數化成正指數.

(3)5-26+7-43-6-42

=(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2

=3-2+2-3-2+2=0.

點評：考慮根號里面的數是一個完全平方數，千萬注意方根的性質的運用.

例3已知，n∈正整數集，求(x+1+x2)n的值.

活動：學生思考，觀察題目的特點，從整體上看，應先化簡，然后再求值，要有預見性，與具有對稱性，它們的積是常數1，為我們解題提供了思路，教師引導學生考慮問題的思路，必要時給予提示.

=.

這時應看到1+x2=，

這樣先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可.

解：將代入1+x2，得1+x2=，

所以(x+1+x2)n=

=

==5.

點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關鍵，要深刻理解這種做法.

知能訓練

課本習題2.1A組3.

利用投影儀投射下列補充練習：

1.化簡：的結果是()

A.B.

C.D.

解析：根據本題的特點，注意到它的整體性，特別是指數的規律性，我們可以進行適當的變形.

因為，所以原式的分子分母同乘以.

依次類推，所以.

答案：A

2.計算2790.5+0.1-2+-3π0+9-0.5+490.5×2-4.

解：原式=

=53+100+916-3+13+716=100.

3.計算a+2a-1+a-2a-1(a≥1).

解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+a-1-1(a≥1).

本題可以繼續向下做，去掉絕對值，作為思考留作課下練習.

4.設a>0，，則(x+1+x2)n的值為__________.

解析：1+x2=.

這樣先算出1+x2，再算出1+x2，

將代入1+x2，得1+x2=.

所以(x+1+x2)n=

==a.

答案：a

拓展提升

參照我們說明無理數指數冪的意義的過程，請你說明無理數指數冪的意義.

活動：教師引導學生回顧無理數指數冪的意義的過程，利用計算器計算出3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據這些近似值計算的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”的意義，學生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結果.

解：3=1.73205080…，取它的過剩近似值和不足近似值如下表.

3的過剩近似值

的過剩近似值

3的不足近似值

的不足近似值

1.83.4822022531.73.249009585

1.743.3403516781.733.317278183

1.7333.3241834461.7313.319578342

1.73213.322110361.73193.321649849

1.732063.3220182521.732043.3219722

1.7320513.3219975291.7320493.321992923

1.73205093.3219972981.73205073.321996838

1.732050813.3219970911.732050793.321997045

…………

我們把用2作底數，3的不足近似值作指數的各個冪排成從小到大的一列數

21.7,21.72,21.731,21.7319，…，

同樣把用2作底數，3的過剩近似值作指數的各個冪排成從大到小的一列數：

21.8,21.74,21.733,21.7321，…，不難看出3的過剩近似值和不足近似值相同的位數越多，即3的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數的冪2α會越來越趨近于同一個數，我們把這個數記為，

即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.

也就是說是一個實數，=3.321997…也可以這樣解釋：

當3的過剩近似值從大于3的方向逼近3時，23的近似值從大于的方向逼近;

當3的不足近似值從小于3的方向逼近3時，23的近似值從小于的方向逼近.

所以就是一串有理指數冪21.7,21.73,21.731,21.7319，…，和另一串有理指數冪21.8,21.74,21.733,21.7321，…，按上述規律變化的結果，即≈3.321997.

課堂小結

(1)無理指數冪的意義.

一般地，無理數指數冪aα(a>0，α是無理數)是一個確定的實數.

(2)實數指數冪的運算性質：

對任意的實數r，s，均有下面的運算性質：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R).

②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R).

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R).

(3)逼近的思想，體會無限接近的含義.

作業

課本習題2.1B組2.

設計感想

無理數指數是指數概念的又一次擴充，教學中要讓學生通過多媒體的演示，理解無理數指數冪的意義，教學中也可以讓學生自己通過實際情況去探索，自己得出結論，加深對概念的理解，本堂課內容較為抽象，又不能進行推理，只能通過多媒體的教學手段，讓學生體會，特別是逼近的思想、類比的思想，多作練習，提高學生理解問題、分析問題的能力.

備課資料

【備用習題】

1.以下各式中成立且結果為最簡根式的是()

A.a?5a3a?10a7=10a4

B.3xy2(xy)2=y?3x2

C.a2bb3aab3=8a7b15

D.(35-125)3=5+125125-235?125

答案：B

2.對于a>0，r，s∈Q，以下運算中正確的是()

A.ar?as=arsB.(ar)s=ars

C.abr=ar?bsD.arbs=(ab)r+s

答案：B

3.式子x-2x-1=x-2x-1成立當且僅當()

A.x-2x-1≥0B.x≠1C.x<1D.x≥2

解析：方法一：

要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-1>0，x-2≥0，即x≥2.

若x≥2，則式子x-2x-1=x-2x-1成立.

故選D.

方法二：

對A，式子x-2x-1≥0連式子成立也保證不了，尤其x-2≤0，x-1<0時式子不成立.

對B，x-1<0時式子不成立.

對C，x<1時x-1無意義.

對D正確.

答案：D

4.化簡b-(2b-1)(1<b<2).<p="">

解：b-(2b-1)=(b-1)2=b-1(1<b<2).<p="">

5.計算32+5+32-5.

解：令x=32+5+32-5，

兩邊立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5)，即x3=4-3x，x3+3x-4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0.

∵x2+x+4=x+122+154>0，∴x-1=0，即x=1.

∴32+5+32-5=1.

2023數學教案篇7

設計意圖：

本次活動是幼兒非常感興趣的較為感性的活動。一是以小動物蓋房子，引出課題。引導幼兒學習一一對應，對于幼兒而言，通過對比的方法更容易發現兩個物品之間的對應關系，所以在活動中讓幼兒做對應的操作。二是感知一一對應的關系，教師提供給幼兒誘發對應性的材料，如狗和骨頭(即兩種材料之間有內在聯系)。容易使幼兒進行一一對應操作活動，使幼兒初步形成了一一對應的意識。

教材分析：

本課是幼兒園小班一節數學領域的課，幼兒對動物本身很感興趣。所以本活動的主要是為幼兒提供觀察、探索、動手操作的機會，使幼兒的興趣轉移到對活動中出現的一一對應的興趣上，從而引發進一步探索的愿望。

設計思路：

一、情境導入引出主題

二、出示圖卡師幼互動

三、趣味游戲鞏固知識

四、動手操作活動延伸

活動目標：

1、初步了解物體之間一一對應的關系。

2、在操作及游戲活動中，感受對應的關系。

3、樂于參與集體游戲活動。

4、培養幼兒比較和判斷的能力。

5、發展幼兒邏輯思維能力。

活動準備：

大象、牛、兔子、刺猬、貓、木頭、小狗、骨頭、點圖卡。

活動過程：

一、情境導入引出主題

1、出示"小狗"導入。

師：今天小狗家要造房子，可是蓋新房子要用很多的木頭，（在黑板上出示木頭隨意排列），小狗自己搬不動怎么辦呢？

師：小狗請來了好多小伙伴來幫忙，讓我們看看都有誰吧？（刺猬、小花貓、小兔子、牛、大象）

小結：小狗請來了好多小伙伴來幫忙

二、出示圖卡師幼互動

1、師：小狗請來了力氣最小的小刺猬來幫忙，一個刺猬一根木頭，木頭太多了，小刺猬太慢了

2、師：小狗請來了二只小花貓來幫忙，二只小花貓二根木頭，木頭太多了，小花貓太慢了

3、師：小狗又請來了三只小兔子來幫忙，三只小兔子三根木頭，木頭太多了，小兔子累壞了

4、師：小狗又請來了四只牛來幫忙，四只牛四根木頭，木頭太多了，牛也累壞了

5、師：小狗又請來了力氣最大的大象來幫忙，五頭大象五根木頭，終于所有的木頭都搬運完了，小狗的房子蓋好了

小結：好多小動物來幫忙，小狗的房子終于蓋好了

三、趣味游戲鞏固知識

1、小狗家族邀請小伙伴吃骨頭了，但是每一只小狗只能吃一個骨頭

2、教師出示一只小狗，請幼兒對應的拿一個狗骨頭，出示二只小狗，請幼兒對應的拿二個狗骨頭，出示三只小狗，請幼兒對應的拿三個狗骨頭

小結：小朋友真棒

四、動手操作活動延伸

1、出示操作用具，講解操作要求

2、師：依次給小狗找到對應的骨頭

小結：小朋友真棒，每一只小狗都有自己的狗骨頭了

2023數學教案篇8

《兩位數乘兩位數》

一、教學目標：

1、讓學生體驗計算方法的多樣化。

2、會運用兩位數乘兩位數的筆算。

二、教學過程：

1、創設學習情境，提出相應的問題。

2、讓學生獨立思考，嘗試自己解決問題。

3、組織學生對所提問題小組討論。

4、交流結果，小組一：12+12+......+12=288(24個12相加)

小組二：12x4x6=288

小組三：12x3x8=288

小組四：12x20+12x4=288

小組五：用豎式計算

5、方法歸類：可以分為三類，第一類連加，第二類連成，第三類是把其中的一個乘數拆成兩數的和或差

6、總結出方法

7、研究筆算方法

8、鞏固法則

9、總結所學內容，看看學生是否掌握了本節課知識點

三、教學結束：

布置學生課后編5道兩位數乘兩位數的計算題。